Even Idiots Can Make Game
게임 개발자가 알아야 할 벡터
본인은 정규 교육 과정에서 벡터에 대해 배웠고, 대학에서도 선형대수학 등의 과목에서 벡터를 수도 없이 다루었지만 마치 치매에 걸린 것 마냥 자꾸 까먹어서, 이를 악물고 마지막으로 정리해 본다.
벡터를 모르면 진짜 게임 개발에서 아무것도 할 수 없기 때문에, 이번 기회에 반드시 확실히 짚고 넘어가보자!
각 단계에서 벡터를 C++로 실제로 구현해 보면서 이해를 도울 것이다.
#1 벡터의 정의
벡터의 정의
벡터(Vector)는 수학이나 물리학에서 사용되는 용어로,
- 하나의 숫자(스칼라)로 표현될 수 없는 양을 나타내고 싶을 때
- 유한한 크기의 숫자 혹은 객체의 수열을 나타내고 싶을 때
사용한다.
첫 번째 벡터의 정의는, 물리학이나 기하학에서 위치, 힘, 속도와 같이 크기와 방향을 동시에 가지는 바람에 시간이나 질량 처럼 하나의 숫자(스칼라)로 표현할 수 없는 물리량들을 표현하기 위해서 도입되었다. 이러한 관점에서 벡터는 **크기(Magnitude)**와 **방향(Direction)**이 강조되어 표현된다.
이러한 벡터를 보통 기하 벡터(Geomtric Vector), 또는 유클리드 벡터(Euclidean Vector) 라고 부른다.
두 번째 정의는 더 보편적인 맥락에서의 벡터의 정의이며, 벡터가 그냥 숫자(혹은 객체)의 나열이라는 관점이다.
이러한 벡터는 튜플(Tuple) 이라고 부를 때도 있다.
기하 벡터이건 튜플이건 이러한 벡터들이 나름의 연산과 공리를 가지고 이루게 되는 공간을 벡터 공간(Vector Space) 이라고 부르며, 기하 벡터가 이루는 공간을 유클리드 벡터 공간(Euclidean Vector Space), 튜플 벡터가 이루는 공간을 좌표 벡터 공간(Coordinate Vector Space) 이라고 부른다.
게임 개발에서 벡터는 보통 유클리드 벡터 공간에 속해 있는, 기하적 의미를 같는 기하 벡터이다.
struct Vec3 {
Vec3(float x, float y, float z): x(x), y(y), z(z) {}
float x, y, z;
};
만일 3차원 공간에서 어떤 점의 위치나 방향을를 표현하기 위해 Vec3{ .1f, .0f, .3f }같은 벡터를 만들면, 기하 벡터를 사용하려고 만든 것이다.
좌표 벡터 공간처럼 단순히 숫자의 나열인 벡터를 사용하려면 std::tuple을 쓰는 것이 낫다.
#1 위치 벡터와 방향 벡터
위치 벡터는 벡터가 어떤 공간의 점을 나타낸다고 생각한다. 위치 벡터의 크기는 임의의 원점 $O$로부터의 거리라고 보고, 방향은 역시 임의의 원점 $O$에 대한 방향이라고 본다.
$$ \mathbf{r} = \vec{OP} $$
보통 위와 같이 표현하며, 이는 점 $O$를 점 $P$에 매핑하는 위치 이동(Displacement, Translation)이라고도 볼 수 있다.
방향 벡터는 벡터가 어떤 공간에서 방향을 나타낸다고 생각한다. 위치이동을 적절히 수행하여 포갤 수 있는 두 방향 벡터는 같다고 생각한다.
#1 벡터의 연산
#2 기본 연산
Vec3 operator+(const Vec3& oth) const;
Vec3 operator-(const Vec3& oth) const;
Vec3& operator+=(const Vec3& oth);
Vec3& operator-=(const Vec3& oth);
friend Vec3 operator*(float c, const Vec3& oth);
friend Vec3 operator*(const Vec3& oth, float c);
friend Vec3 operator/(const Vec3& oth, float c);
Vec3& operator*=(float c);
Vec3& operator/=(float c);
#2 비교
bool operator==(const Vec3& oth);
bool operator!=(const Vec3& oth);
#2 길이와 제곱 길이
float Vec3::Length() const {
return std::sqrt(x * x + y * y + z * z);
}
보통 sqrt가 비싼 연산이기 때문에, 길이의 정확한 값이 아니라 길이만 필요한 경우, 아래의 LengthSquared를 이용한다.
float Vec3::LengthSquared() const {
return x * x + y * y + z * z;
}
#2 정규화
다음과 같이 두 방식으로 구현한다.
Vec3 Vec3::Normalized() const {
float length = Length();
assert(length != .0f);
return this / length;
}
void Vec3::Normlize() {
float length = Length();
assert(length != .0f);
this /= length;
}
#2 내적(Dot Product)
두 벡터의 내적(Dot Product)는 다음과 같이 정의된다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos{\theta} $$
이 때, $\theta$는 두 벡터가 이루는 각도이다.
기하학적으로 이해하면, 시점을 공유하는 두 벡터 $\mathbf{a}$의 길이와, $\mathbf{b}$의 성분 중 $\mathbf{a}$와 방향이 같은 것의 길이를 곱한 값과 같다.
벡터의 내적의 결과는 스칼라임을 유의한다.
벡터의 내적은 다음처럼 각 벡터의 성분의 곱의 합으로 나타낼 수도 있다.
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$
내적의 결과값을 이용해 두 벡터가 이루는 각($\theta$)을 구할 수도 있다.
다음과 같이 구현한다.
float Vec3::Dot(const Vec3& oth) const {
return x * oth.x + y * oth.y + z * oth.z;
}
#3 내적의 의미
#2 외적(Cross Product)
다음과 같이 구현한다.
Vec3 Vec3::Cross(const Vec3& oth) const {
return Vec3{
y * oth.z - z * oth.y,
z * oth.x - x * oth.z,
x * oth.y - y * oth.x
};
}
이차원 벡터의 경우 다음처럼 구현된다.
float Vec2::Dot(const Vec2& oth) {
return x * oth.y - y * oth.x;
}
스칼라를 반환함에 주의한다.